Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+（{1-{m^2}}）x（{0＜m＜1}）$
（1）求函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；
（2）若f（x）恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）令f'（x）=x²-2x+1-m²=0，得x₁=1-m；x₂=1+m，
，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，1-m）	（1-m，1+m）	（1+m，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	遞增	遞減	遞增

f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）上為增函數(shù)；在（1-m，1+m）上為減函數(shù)，
函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為x=1-m，極小值點(diǎn)為x=1+m；
（2）若f（x）恰好有三個(gè)零點(diǎn)，
則$\left\{{\begin{array}{l}{f（{1-m}）＞0}\\{f（{1+m}）＜0}\end{array}}\right.$，又0＜m＜1，得：$\frac{1}{2}＜m＜1$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．