Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-2，對任意給定的x₀∈（0，e]，方程f（x）=g（x₀）在（0，e]有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．（其中a∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax+（2-a）=$\frac{（2x+1）（-ax+1）}{x}$，
當(dāng)a=0時，f′（x）=$\frac{2x+1}{x}$＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減．
（Ⅱ）g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-2，g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x∈（-∞，1），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴x∈（0，e]時，g（x）的值域為（-2，$\frac{1}{e}$-2]，
由已知，$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{1}{a}＜e}\\{f（\frac{1}{a}）{＞g（x）}_{max}}\\{f（e）≤-2}\end{array}\right.$，
由f（e）=1-ae²+2e-ea≤-2，∴a≥$\frac{3+2e}{{e}^{2}+e}$，
由f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$-1＞$\frac{1}{e}$-2，
∴l(xiāng)na-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{e}$＜0，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$知h（x）單調(diào)遞增，
而h（e）=0，∴a∈（0，e）時，lna-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{e}$＜1，
∴a∈（0，e），綜合以上，$\frac{3+2e}{{e}^{2}+e}$≤a＜e．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．