Question

15．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-1，且f'（1）=-1．
（1）求a的值；
（2）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-1，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，利用f'（1）=-1，求解即可．
（2）設(shè)g（x）=lnx-x，則$g'（x）=\frac{1}{x}-1$，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）對f（x）求導(dǎo)，得f'（x）=1+lnx+2ax，
所以f'（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
（2）由f（x）-mx≤-1，得xlnx-x²-mx≤0，
因為x∈（0，+∞），所以對于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx-x≤m．
設(shè)g（x）=lnx-x，則$g'（x）=\frac{1}{x}-1$，
令g'（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x變化時，g（x）與g'（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	增	極大值	減

所以當(dāng)x=1時，g（x）_max=g（1）=-1，
因為對于任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≤m成立，所以m≥-1，
所以m的最小值為-1．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．