Question

10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，若實數(shù)b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，則實數(shù)b的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，2}]$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，實數(shù)b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，可得f（|log₂b|）≤f（1），利用f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，可得|log₂b|≤1，即可求出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，實數(shù)b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，
∴f（|log₂b|）≤f（1），
∵f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，
∴|log₂b|≤1，
∴-1≤log₂b≤1，
∴b∈$[{\frac{1}{2}，2}]$，
故答案為$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點評 本題考查函數(shù)的性質和運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調性和運用，考查對數(shù)不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．