Question

1．有三種卡片分別寫(xiě)有數(shù)字1，10，100，從上述三種卡片中選取若干張，使得這些卡片之和為m（m為正整數(shù)）．考慮不同的選法種數(shù)，例如m=11時(shí)有兩種選法：“一張卡片寫(xiě)有1，另一張寫(xiě)有10”或“11張寫(xiě)有1的卡片”．
（1）若m=100，直接寫(xiě)出選法種數(shù)；
（2）設(shè)n為正整數(shù)，記所選卡片的數(shù)字和為100n的選法種數(shù)為a_n，當(dāng)n≥2時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）對(duì)100和10的卡片張數(shù)討論得出答案；
（2）求出{a_n}的遞推式，使用累加法得出a_n．

解答 解：（1）m=100時(shí)選法種數(shù)為12．
（2）由（1）知a₁=12，
當(dāng)n≥2時(shí)，若至少選一張100的卡片，則除去一張100的卡片，其余數(shù)字之和為100（n-1），有a_n-1種選法，
若不選含有100的卡片，則有（10n+1）種選法．
∴a_n=a_n-1+10n+1，即a_n-a_n-1=10n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+12
=$10•\frac{（n+2）（n-1）}{2}+n-1+12=5{n^2}+6n+1（n≥2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．