Question

18．函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{x+3}}，x＜0\\ \sqrt{-{x^2}+2x}，0≤x≤2\end{array}\right.$若g（x）=f（x）-kx-2k恰有兩個(gè)兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（{e^2}，\frac{e^3}{2}）∪[0，\frac{{\sqrt{2}}}{4}）$．

Answer 1

分析 由題意可得，f（x）=k（x+2）有兩個(gè)不等的實(shí)根，作出y=f（x）的圖象和直線y=k（x+2），通過圖象觀察它們有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率和直線和圓相切的條件：d=r

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
即為f（x）=k（x+2）有兩個(gè)不等的實(shí)根，如圖：
當(dāng)x＜0時(shí)，直線和曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為（m，km+2k），
f′（x）=e^x+3，f′（m）=e^m+3，
由e^m+3=km+2k，k，k≠0，解得k=e²，m=-1，
k＜$\frac{{e}^{3}}{2}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（0，e³），k=$\frac{{e}^{-3}}{2}$時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線kx-y+2k=0和半圓相切，d=r=1，圓心為（1，0），
由$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（負(fù)的舍去），
由圖象可得，0≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$時(shí)，直線和半圓有兩個(gè)交點(diǎn)．
則有k的取值范圍是：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪[e²，$\frac{{e}^{3}}{2}$）．
故答案為：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪[e²，$\frac{{e}^{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，主要考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．