10.某學(xué)校用“10分制”調(diào)查本校學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的滿意度,現(xiàn)從學(xué)生中隨機(jī)抽取16名,以下莖葉圖記錄了他們對(duì)該校教師教學(xué)滿意度的分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉):
(Ⅰ)若教學(xué)滿意度不低于9.5分,則稱該生對(duì)教師的教學(xué)滿意度為“極滿意”.求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“極滿意”的概率;
(Ⅱ)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù),若從該校所有學(xué)生中(學(xué)生人數(shù)很多)任選3人,記X表示抽到“極滿意”的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

分析 (Ⅰ)設(shè)Ai表示所取得人中有i個(gè)人是“極滿意”,至少有一人是“極滿意”記為事件A,利用古典概率計(jì)算公式與相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得出.
(II)X的可能取值為0,1,2,3,由已知得$X-B({3,\frac{1}{4}})$,即可得出.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)Ai表示所取得人中有i個(gè)人是“極滿意”,至少有一人是“極滿意”記為事件A,
則$P(A)=1-P({A_0})=1-\frac{{C_{12}^3}}{{C_{16}^3}}=\frac{17}{28}$.
(Ⅱ)X的可能取值為0,1,2,3,由已知得$X-B({3,\frac{1}{4}})$.
∴$P({X=0})={({\frac{3}{4}})^3}=\frac{27}{64}$,$P({X=1})=C_3^1({\frac{1}{4}})×{({\frac{3}{4}})^2}=\frac{27}{64}$,$P({X=2})=C_3^2{({\frac{1}{4}})^2}×({\frac{3}{4}})=\frac{9}{64}$,$P({X=3})={({\frac{1}{4}})^3}=\frac{1}{64}$.
∴X的分布列為:

 X 0 1 2 3
 P $\frac{27}{64}$ $\frac{27}{64}$ $\frac{9}{64}$ $\frac{1}{64}$
∴$EX=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率計(jì)算公式與相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式與數(shù)學(xué)期望,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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