Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，，其中且.
（I）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值；
（II）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；
（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（I）；（II）單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是；處取得極大值，在處取得極小值.（III）。

試題分析：（I），其中.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001345642370.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，其最小值為. 2……………………4分
（II）當(dāng)時(shí)，，.…5分
的變化如下表：

		0		0

 
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是.……7分
函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.……8分
（III）由題意，.
不妨設(shè)，則由得. 
令，則函數(shù)在單調(diào)遞增.10分
在恒成立.
即在恒成立.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001347077941.png" style="vertical-align:middle;" />，因此，只需.
解得. 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為. …12分
點(diǎn)評：構(gòu)造出函數(shù)，把證明轉(zhuǎn)化為證明在單調(diào)遞增是做本題的關(guān)鍵，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，對學(xué)生的能力要求較高，是一道中檔題。