Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${a_1}=1，{a_{n+1}}•{a_n}={2^n}（n∈{N^*}）$，則S₂₀₁₆=（　�。�

• A． 3•2¹⁰⁰⁸-3
• B． 2²⁰¹⁶-1
• C． 2²⁰⁰⁹-3
• D． 2²⁰⁰⁸-3

Answer 1

分析 a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=1，可得a_n+2•a_n+1=2ⁿ⁺¹，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，因此數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)與偶首項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)分別1，2分別求出和即可．

解答 解：∵a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=1，
∴a₂=2，a₃=2．
又a_n+2•a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)分別為1，2．
∴S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{2}^{1008}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$
=3•2¹⁰⁰⁸-3．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．