Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），在曲線y=f（x）與直線y=1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為$\frac{π}{4}$，則f（x）的最小正周期為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 化f（x）為正弦型函數(shù)，令f（x）=1求出x的值，利用曲線y=f（x）與直線y=1的交點中相鄰交點距離的最小值為$\frac{π}{4}$，得出ω|x₂-x₁|=$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$，從而求出ω和f（x）的最小正周期T．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
令f（x）=1，得sin（ωx+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ωx+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
或ωx+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z；
又在曲線y=f（x）與直線y=1的交點中，相鄰交點距離的最小值為$\frac{π}{4}$，
∴ω|x₂-x₁|=$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$，
即$\frac{π}{4}$ω=$\frac{π}{2}$，
解得ω=2，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π．
故選：C．

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．