Question

15．某超市為了了解顧客結(jié)算時(shí)間的信息，安排一名工作人員收集，整理了該超市結(jié)算時(shí)間的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如表：

結(jié)算所需的時(shí)間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

假設(shè)每個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，從第一個(gè)顧客開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)．
（1）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始結(jié)算的概率；
（2）X表示至第2分鐘末已結(jié)算完的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（注：將頻率為概率）

Answer 1

分析 （1）設(shè)Y表示顧客結(jié)算所需的時(shí)間．用頻率估計(jì)概率，求出Y的分布，A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始結(jié)算”，則時(shí)間A對(duì)應(yīng)三種情形：①第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為3分鐘；②第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間均為2分鐘．由此能求出結(jié)果．
（2）X所有可能的取值為：0，1，2．X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間超過(guò)為2分鐘；X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間超過(guò)為1分鐘，或第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為2分鐘；X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間均為1分鐘．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設(shè)Y表示顧客結(jié)算所需的時(shí)間．用頻率估計(jì)概率，得Y的分布如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始結(jié)算”，則時(shí)間A對(duì)應(yīng)三種情形：
①第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為3分鐘；
②第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為1分鐘；
③第一個(gè)和第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間均為2分鐘．
所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．
（2）X所有可能的取值為：0，1，2．
①X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間超過(guò)為2分鐘，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
②X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間超過(guò)為1分鐘，
或第一個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間為2分鐘，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
③X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客結(jié)算所需的時(shí)間均為1分鐘，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．