Question

3．設(shè)數(shù)列a_n的前n項之和S_n=n²，b_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{4n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，則b_n的前20項之和（　�。�

• A． $\frac{41}{42}$
• B． $\frac{1}{42}$
• C． $\frac{40}{41}$
• D． $\frac{42}{41}$

Answer 1

分析 由已知條件得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，當n=1時，a₁=S₁=1，由此求出a_n=2n-1，n∈N⁺．由此利用裂項求和法能求出b_n的前20項之和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項之和S_n=n²，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
當n=1時，a₁=S₁=1，
當n=1時上式也適用，
∴a_n=2n-1，n∈N⁺．
∴b_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{4n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=（-1）ⁿ⁺¹•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀
=（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）-（$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{9}$）+…-（$\frac{1}{39}$+$\frac{1}{41}$）
=1-$\frac{1}{41}$
=$\frac{40}{41}$．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列遞推式，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．