Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓C上關(guān)于長軸對稱的兩點，若直線AM與BN相交于點P，則點P的軌跡方程是（　　）

• A． x=±a（y≠0）
• B． y²=2b（|x|-a）（y≠0）
• C． x²+y²=a²+b²（y≠0）
• D． $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（y≠0）

Answer 1

分析 求得直線PA的方程及PB的方程，兩式相乘，整理即可求得P的軌跡方程．

解答 解：由題意可知：A（-a，0），B（a，0），設(shè)M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），y₀≠0，P（x，y），y≠0
則直線PA的斜率k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，則直線PA的方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$（x+a），①
同理直線PB的斜率k=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，直線PB的方程y=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$（x-a），②
兩式相乘：y²=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}-{x}_{0}^{2}}$（x²-a²），
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，y₀²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（a²-x₀²），
則y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（x²-a²），整理得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）（y≠0），
則點P的軌跡方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）（y≠0），
故選D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線的點斜式方程，考查軌跡方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．