Question

18．本學(xué)期，學(xué)校食堂為了更好地服務(wù)廣大師生員工，對(duì)師生員工的主食購(gòu)買情況做了一個(gè)調(diào)查（主食只供應(yīng)米飯和面條，且就餐人數(shù)保持穩(wěn)定），經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)凡是購(gòu)買米飯的人下一次會(huì)有20%的人改買面條，而購(gòu)買面條的人下一次會(huì)有30%的人改買米飯．若用a_n，b_n分別表示第n次購(gòu)買米飯、面條的人員比例，假設(shè)第一次購(gòu)買時(shí)比例恰好相等，即${a_1}={b_1}=\frac{1}{2}$
（1）求a_n+b_n的值
（2）寫出數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式
（3）求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式，并指出隨著時(shí)間推移（假定就餐人數(shù)為2000）食堂的主食應(yīng)該準(zhǔn)備米飯和面條各大約多少份，才能使廣大師生員工滿意．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{2}×（1-20%）+\frac{1}{2}×30%$=$\frac{1}{2}（1+10%）$．同理可得：b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{1}{2}×（1-10%）$．n≥2時(shí)，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，b_n=b_n-1•（1-30%）+a_n-1•20%．可得a_n+b_n=1．
（2）n≥2時(shí)，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，化為：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}_{n-1}$．由（1）可得：b_n-1=1-a_n-1，即可得出．
（3）由（2）可得：a_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{3}{10}$，變形為：a_n-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{2}$$（{a}_{n-1}-\frac{3}{5}）$．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n-$\frac{3}{5}$．進(jìn)而得到b_n=1-a_n．

解答 解：（1）由已知可得：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{2}×（1-20%）+\frac{1}{2}×30%$=$\frac{1}{2}（1+10%）$．
同理可得：b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{1}{2}×（1-30%）+\frac{1}{2}×20%$=$\frac{1}{2}×（1-10%）$．
n≥2時(shí)，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，b_n=b_n-1•（1-30%）+a_n-1•20%．
∴a_n+b_n=a_n-1+b_n-1=…=a₁+b₁=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1．
（2）n≥2時(shí)，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，化為：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}_{n-1}$．
由（1）可得：b_n-1=1-a_n-1，
∴a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}$（1-a_n-1）=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{3}{10}$．
（3）由（2）可得：a_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{3}{10}$，變形為：a_n-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{2}$$（{a}_{n-1}-\frac{3}{5}）$．
${a}_{1}-\frac{3}{5}$=-$\frac{1}{10}$，
∴數(shù)列{a_n-$\frac{3}{5}$}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-$\frac{1}{10}$，公比為$\frac{1}{2}$．
∴a_n-$\frac{3}{5}$=$-\frac{1}{10}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
即a_n=$\frac{3}{5}$$-\frac{1}{10}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴b_n=1-a_n=$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{10}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
n→+∞時(shí)，米飯a_n→$\frac{3}{5}×2000$=1200份，
面條b_n→$\frac{2}{5}×2000$=800份．
因此隨著時(shí)間推移（假定就餐人數(shù)為2000）食堂的主食應(yīng)該準(zhǔn)備米飯和面條分別為1200、800份，才能使廣大師生員工滿意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系、方程思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．