Question

20．在直角坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為$\sqrt{2}$，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）點P的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$），直線l與圓C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入圓C得圓C的極坐標(biāo)方程；直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，進(jìn)而求得直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，求得關(guān)于t的一元二次方程，令A(yù)，B對應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，根據(jù)韋達(dá)定理、直線與圓的位置關(guān)系，即可求得|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=2，
$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入圓C得：（ρcosθ-2）²+ρ²sin²θ=2
化簡得圓C的極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosθ+2=0…（3分）
由$l：\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+t\end{array}\right.$得x+y=1，∴l(xiāng)的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1…（5分）
（2）由$P（1，\frac{π}{2}）$得點P的直角坐標(biāo)為P（0，1），
∴直線l的參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程可寫成$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$…（6分）
代入圓C得：$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-2{）^2}+{（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=2$
化簡得：${t^2}+3\sqrt{2}t+3=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-3\sqrt{2}\\{t_1}•{t_2}=3\end{array}\right.$，∴t₁＜0，t₂＜0…（8分）
∴$|{PA}|+|{PB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=-（{{t_1}+{t_2}}）=3\sqrt{2}$…（10分）

點評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．