Question

14．已知：復數(shù)z₁=2sinAsinC+（a+c）i，z₂=1+2cosAcosC+4i，且z₁=z₂，其中A、B、C為△ABC的內(nèi)角，a、b、c為角A、B、C所對的邊．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ） 若$b=2\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)復數(shù)相等得到2sinAsinC=1+2cosAcosC，根據(jù)兩角和余弦公式和誘導公式，即可求出B的大��；
（Ⅱ）由余弦定理可以及a+c=4，可得ac，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵z₁=z₂
∴2sinAsinC=1+2cosAcosC----①，a+c=4----②，
由①得2（cosAcosC-sinAsinC）=-1
即$cos（A+C）=cos（π-B）=-cosB=-\frac{1}{2}$，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，∵0＜B＜π∴$B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$b=2\sqrt{2}$，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB⇒a²+c²-ac=8，--④，
由②得a²+c²+2ac=16------------⑤
由④⑤得$ac=\frac{8}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查兩角和的余弦公式和余弦定理的應用，以及三角形的面積公式，屬于基礎題．