Question

17．如圖，OABC是四面體，G是△ABC的重心，G₁是OG上一點，且OG=3OG₁，則（　�。�

• A． $\overrightarrow{O{G}_{1}}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$
• B． $\overrightarrow{O{G}_{1}}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$
• C． $\overrightarrow{O{G}_{1}}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OC}$
• D． $\overrightarrow{O{G}_{1}}$=$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OC}$

Answer 1

分析 根據G是三角形ABC的重心，結合空間向量的線性運算法則，即可得出結果．

解答 解：∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AG}$
=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）
$\overrightarrow{OG}$=3$\overrightarrow{{OG}_{1}}$
∴$\overrightarrow{{OG}_{1}}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OC}$．
故選：D．

點評 本題考查了三角形重心的應用以及空間向量的化簡與運算問題，是基礎題目．