Question

【題目】已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，，，其中為常數(shù).

（1）若，.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）若，.求證：.

Answer 1

【答案】（1）①，②（2）見解析．

【解析】

（1）①已知兩等式相加可得是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式，②已知兩等式相減可得的遞推關(guān)系式，湊配成一個(gè)新的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；

（2）已知兩等式相加可得數(shù)列是等比數(shù)列，就是的前項(xiàng)和，分類求得這個(gè)和，在且時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立．

（1）若，，則有

由，得：

所以是公比為4的等比數(shù)列，首項(xiàng)，

所以；

由，得：

則

所以是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)，

所以，則；

（2）由，得，

∵，，∴數(shù)列是等比數(shù)列，

∴，

時(shí)，，不等式左邊，右邊，不等式成立；

時(shí)，，

不等式即為，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（i）時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立，

（ii）假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，

∵，∴

則時(shí)，左邊＝，

由歸納假設(shè)左邊，

下面只要證，即證，

再用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①時(shí)，不等式左邊，右邊，不等式成立，

②假設(shè)（）時(shí)不等式成立，即 ，

則時(shí)，，不等式也成立，

由①②得時(shí)，不等式成立，

∴時(shí)，不等式成立，

由（i）（ii），原不等式對一切正整數(shù)都成立．

綜上，原不等式得證．