Question

1．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，已知直線I的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P'QUOTE p^?的極坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，\frac{5π}{4}）$（1）寫出圓C的直角坐標(biāo)方程及點(diǎn)P的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線I與圓C相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；利用點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P'的極坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，\frac{5π}{4}）$，得到點(diǎn)P的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線I與圓C相交于兩點(diǎn)A、B，將$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+\sqrt{3}t\end{array}\right.$代入x²+y²=4，得：$|{t_1}{t_2}|=\frac{1}{2}$，即可求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4；
點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P'的極坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，\frac{5π}{4}）$，則P（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）；
（2）點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)為P（1，1）
將$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+\sqrt{3}t\end{array}\right.$代入x²+y²=4，得：$|{t_1}{t_2}|=\frac{1}{2}$，
所以，點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．