Question

15．如圖，有一壁畫，最高點A處離地面AO=4m，最低點B處離地面BO=2m，觀賞它的C點在過墻角O點與地面成30°角的射線上．
（1）設點C到墻的距離為x，當x=$\sqrt{3}$m時，求tanθ的值；
（2）問C點離墻多遠時，視角θ最大？

Answer 1

分析 （1）過C作CD⊥AO，垂足為D，則θ=∠ACD-∠BCD，利用差角的正切公式，求tanθ的值；
（2）利用差角的正切公式，我們可以求得tanθ，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：（1）作CD⊥AO于D，則$CD=x=\sqrt{3}$，
在直角△CDO中，$DO=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x=1$，…（2分）
$tan∠BCD=\frac{BO-OD}{CD}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，$tan∠ACD=\frac{AO-OD}{CD}=\sqrt{3}$，
因∠BCD，∠ACD都為銳角，所以∠BCD=30°，∠ACD=60°，…（4分）
所以$tanθ=tan{30^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；…（6分）
（2）設∠BCD=α，∠ACD=β．作如下規(guī)定：
當D點在B點下方時α為正，當D點在B點上方時α為負，當D點與B重合時α為零．類似地β也如此規(guī)定．
于是有$α，β∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，θ=β-α，…（8分）
$tanα=\frac{BO-OD}{CD}=\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}$，$tanβ=\frac{AO-OD}{CD}=\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}$…（10分）
$tanθ=tan（β-α）=\frac{tanβ-tanα}{1+tanβ•tanα}$=$\frac{{\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}-\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}}}{{1+\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}•\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}}}$=$\frac{2}{{\frac{4}{3}x+\frac{8}{x}-2\sqrt{3}}}$…（12分）$≤\frac{2}{{2\sqrt{\frac{4}{3}x•\frac{8}{x}}-2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{4\sqrt{2}-3}}$…（14分）
當且僅當$\frac{4}{3}x=\frac{8}{x}$，$x=\sqrt{6}$時tanθ最大，從而θ最大，此時C點離墻$\sqrt{6}m$．…（16分）

點評 本題以實際問題為載體，考查差角的正切函數(shù)公式，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是利用差角的正切函數(shù)公式構(gòu)建函數(shù)模型．