Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)P（1，-1）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）如果點(diǎn)P恰是線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出p的值，即可求解拋物線方程．
（Ⅱ）方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，利用平方差法求出直線的斜率，即可求解直線AB的方程．
方法二：由題設(shè)可知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（x-1）-1\end{array}\right.$，消去x，利用韋達(dá)定理，求解直線的斜率k，然后求解直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)可知p=4，所以拋物線方程為y²=8x…（4分）
（Ⅱ）方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2
又$\left\{\begin{array}{l}y_1^2=8{x_1}\\ y_2^2=8{x_2}\end{array}\right.$，相減整理得$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{8}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{8}{-2}=-4$…（8分）
所以直線AB的方程是y=-4（x-1）-1，即4x+y-3=0．…（12分）
方法二：由題設(shè)可知直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（x-1）-1\end{array}\right.$，消去x，得ky²-8y-8k-8=0，…（6分）
易知$△=32{（k+\frac{1}{2}）^2}+56＞0$，${y_1}+{y_2}=\frac{8}{k}$，
又y₁+y₂=-2所以$\frac{8}{k}=-2$，k=-4…（8分）
所以直線AB的方程是y=-4（x-1）-1，即4x+y-3=0．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的方程的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．