Question

3．設f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}+a+4，x＞0\end{array}$，若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍為（　�。�

• A． [-2，3]
• B． [-2，0]
• C． [1，3]
• D． [0，3]

Answer 1

分析 由分段函數(shù)可得當x=0時，f（0）=a²，由于f（0）是f（x）的最小值，則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，則有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a+4，x＞0恒成立，運用基本不等式，即可得到右邊的最小值2+a，解不等式a²≤2+a，即可得到a的取值范圍

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}+a+4，x＞0\end{array}$，
則當x=0時，f（0）=a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，
則有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a+4，x＞0恒成立，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當且僅當x=1取最小值2，
則a²≤6+a，解得-2≤a≤3．
綜上，a的取值范圍為[0，3]．
故選：D．

點評 本題考查分段函數(shù)的應用：求最值，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，同時考查基本不等式的應用，是一道中檔題，也是易錯題．