Question

7．已知$α+β=\frac{2π}{3}，α＞0，β＞0$，當sinα+2sinβ取最大值時α=θ，則cosθ=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 由題意，$α+β=\frac{2π}{3}，α＞0，β＞0$，消去β，利用三角函數有界限，求出cosθ的關系式即可得值．

解答 解：由題意，$α+β=\frac{2π}{3}，α＞0，β＞0$，消去β，即$β=\frac{2π}{3}-α$，
那么：sinα+2sinβ=sinα+2sin（$\frac{2π}{3}-α$）=2sinα+$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{7}$sin（α+φ），tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當α=θ時取得最大值，θ＞0，
令θ+φ=$\frac{π}{2}$，0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
可得：θ=$\frac{π}{2}$-φ，
則cosθ=cos（$\frac{π}{2}$-φ）=sinφ，
∵tanφ=$\frac{sinφ}{cosφ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin²φ+cos²φ=1，
解得：sinφ=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
即cosθ=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題主要考察了同角三角函數關系式的應用，以及三角函數的有界限的思想，屬于中檔題．