Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n}={a_n}-2（n≥2）$，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n+1．

Answer 1

分析 依題意可得$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}+\frac{{a}_{3}}{4}+…+\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n}}{n+1}={a}_{n+1}-2$，與已知關(guān)系式作差可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，可判斷出數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以1為公比的等比數(shù)列，結(jié)合題意可知其首項(xiàng)為$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得答案．

解答 解：∵$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n}={a_n}-2（n≥2）$，①
$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{3}+\frac{{a}_{3}}{4}+…+\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n}}{n+1}={a}_{n+1}-2$，②
①-②得：$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=a_n+1-a_n，整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，
∴$\frac{\frac{{a}_{n+1}}{n+2}}{\frac{{a}_{n}}{n+1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=n+1，
故答案為：a_n=n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，求得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．