Question

3．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）若PA=1，求點(diǎn)E到平面PFD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AF，通過(guò)計(jì)算利用勾股定理證明DF⊥AF，證明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后證明DF⊥PF．
（2）利用等體積方法，求點(diǎn)E到平面PFD的距離．

解答 （1）證明：連接AF，則AF=$\sqrt{2}$，DF=$\sqrt{2}$，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF，
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
又PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．
（2）解：∵S_△EFD=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴V_P-EFD=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×1$=$\frac{1}{4}$，
∵V_E-PFD=V_P-AFD，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h=\frac{1}{4}$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，即點(diǎn)E到平面PFD的距離為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，點(diǎn)到平面的距離距離的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．