Question

20．已知函數(shù)f（x）=cosxsin²x，以下四個結論：
①f（x）既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)；
②f（x）圖象關于直線x=π對稱；
③f（x）圖象關于$（\frac{π}{2}，0）$中心對稱；
④f（x）的最大值$\frac{4}{9}\sqrt{3}$．
其中，正確的結論的序號是①②③．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性的概念對A、B、C選項逐一分析即可．對于④，f（x）=cosxsin²x=cosx（1-cos²x），令cosx=t，則，g（t）=t-t³，g′（t）=1-3t²，可得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取最值，g（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，

解答 解：對于①，∵f（x）=cosxsin²x，∴f（-x）=cos（-x）sin²（-x）=cosxsin²x=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)；
 又f（x+2π）=cos（x+2π）sin²（x+2π）=cosxsin²x=f（x），f（x）是周期函數(shù)，∴f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，即①正確；
 對于②，∵f（2π-x）=cos（2π-x）sin²（2π-x）=cosxsin²x=f（x），∴f（x）的圖象關于直線x=π對稱，即②正確．
對于③，∵f（x）+f（π-x）=cosxsin²x+cos（π-x）sin²（π-x）=cosxsin²x-cosxsin²x=0，∴f（x）的圖象關于點$（\frac{π}{2}，0）$成中心對稱，即③正確；
對于④，f（x）=cosxsin²x=cosx（1-cos²x），令cosx=t，則，g（t）=t-t³，g′（t）=1-3t²，可得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取最值，g（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，故錯．
故答案為：①②③．

點評 題考查三角函數(shù)的性質，著重考查函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性及最值，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題