Question

13．已知函數(shù)f（x）=cos$（{x-\frac{π}{2}}）$，g（x）=e^x•f（x），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程；
（2）若對任意$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，方程g（x）=xf（x）的解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程；
（2）構(gòu)造函數(shù)H（x）=g（x）-xf（x），$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，
根據(jù)根的存在性定理即可判斷函數(shù)H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上零點的個數(shù)．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=sinx，g（x）=e^xsinx，
∴g（0）=e⁰sin0=0；
g'（x）=e^x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；
故曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程為y=x；
（2）設(shè)H（x）=g（x）-xf（x），$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$；
則當(dāng)$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，
H'（x）=e^x（cosx+sinx）-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x-1）sinx，
當(dāng)$x=\frac{π}{2}$，顯然有$H'（{\frac{π}{2}}）＜0$；
當(dāng)$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$時，由$\frac{sinx}{cosx}=tanx≥1，\frac{{{e^x}-x}}{{{e^x}+1}}=1-\frac{1+x}{{{e^x}+1}}＜1$，
即有$\frac{sinx}{cosx}＞\frac{{{e^x}-x}}{{{e^x}+1}}$，
即有H'（x）＜0，
所以當(dāng)$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，總有H'（x）＜0，
故H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上單調(diào)遞減，
故函數(shù)H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上至多有一個零點；
又$H（{\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{{e^{\frac{π}{4}}}-\frac{π}{4}}）＞0$，$H（{\frac{π}{2}}）=-\frac{π}{2}＜0$；
且H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上是連續(xù)不斷的，
故函數(shù)H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上有且只有一個零點．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用問題，是綜合性題目．