Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-x，g（x）=ae^x-x，其中a為正實數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）都沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出g（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a-x}{x}（{x＞0，a＞0}）$，
∵0＜x＜a時，f'（x）＞0；x＞a時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，a）上是增函數(shù)，在（a，+∞）上是減函數(shù)，
又f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴0＜a≤1．又g'（x）=ae^x-1，
∴$x＞ln\frac{1}{a}$時，g'（x）＞0；$x＜ln\frac{1}{a}$時，g'（x）＜0，
∴$x=ln\frac{1}{a}$時，g'（x）最小，∴$ln\frac{1}{a}＞2$時，
∴$0＜a＜\frac{1}{e^2}$，∴$a∈（{0，\frac{1}{e^2}}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x=a時，f（x）取得最大值，
$x=ln\frac{1}{a}$，g（x）取得最小值，
由題意可得f（a）＜0且$g（{ln\frac{1}{a}}）＞0$，$\left\{\begin{array}{l}alna-a＜0\\ a•\frac{1}{a}-ln\frac{1}{a}＞0\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{e}$＜a＜e，即$a∈（{\frac{1}{e}，e}）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．