Question

【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的兩個動點A,B始終滿足∠AFB=60°,過弦AB的中點H作拋物線的準線的垂線HN,垂足為N,則的取值范圍為

A.(0,]B.[,+∞)

C.[1,+∞)D.(0,1]

Answer 1

【答案】D

【解析】

過A，B分別作拋物線準線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P．設|AF|=a，|BF|=b，根據(jù)拋物線的定義得到|HN|=，在中，由余弦定理得，于是得到的表達式，然后根據(jù)基本不等式可得所求的范圍．

過A，B分別作拋物線準線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P．

設|AF|=a，|BF|=b，

則由拋物線的定義得|AQ|=a，|BP|=b，

所以|HN|=．

在中，由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab，

所以，

因為a+b≥2，

所以，當且僅當a=b時等號成立，

故的取值范圍為(0,1]．

故選D．