2.已知圓C:(x+1)2+y2=8,定點A(1,0),M為圓上一動點,線段MA的垂直平分線交MC于點N,設點N的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E方程;
(2)若經過F(0,2)的直線l交曲線E于不同的兩點G,H(點G在點F,H之間),且滿足$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$,求直線l的方程.

分析 (1)由題意可知:丨NC丨=r-丨NM丨,丨NC丨+丨NM丨=r=2$\sqrt{2}$>丨AC丨,點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓,2a=2$\sqrt{2}$,即a=$\sqrt{2}$,c=1,橢圓的方程為:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(2)由(1)可知:設直線GH的方程為:y=kx+2,代入橢圓方程,由韋達定理可知:x1+x2=-$\frac{4k}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{3}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$,由$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$,求得x1=$\frac{3}{5}$x2,代入即可求得k2=2>$\frac{3}{2}$,即可求得直線方程,當直線GH斜率不存在時,不符合題意.

解答 解:(1)設點N的坐標為(x,y),
NP是線段AM的垂直平分線,
又點N在CM上,圓C:(x+1)2+y2=8,半徑是 r=2$\sqrt{2}$,
∴丨NC丨=r-丨NM丨,
∴丨NC丨+丨NM丨=r=2$\sqrt{2}$>丨AC丨,
∴點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓,
設橢圓的方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),
∴2a=2$\sqrt{2}$,即a=$\sqrt{2}$,c=1,
由b2=a2-c2=1,
∴橢圓的方程為:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$,
∴曲線E方程:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(2)設G(x1,y1),H(x2,y2),
當直線GH斜率存在時,設直線GH的斜率為k
則直線GH的方程為:y=kx+2,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得:($\frac{1}{2}$+k2)x2+4kx+3=0,
由△>0,解得:k2>$\frac{3}{2}$,
x1+x2=-$\frac{4k}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{3}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$,
又∵$\overrightarrow{FG}$=(x1,y1-2),$\overrightarrow{FH}$=(x2,y2-2),
∵$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$,
∴x1=$\frac{3}{5}$x2,
整理得:$\frac{3}{5}$•(-$\frac{5k}{1+2{k}^{2}}$)2=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$,即k2=2>$\frac{3}{2}$,
解得:k=±$\sqrt{2}$,
∴直線l的方程為:y=±$\sqrt{2}$x+2,
當直線GH斜率不存在時,直線的l方程為x=0,
$\overrightarrow{FG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FH}$與$\overrightarrow{FG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{FH}$矛盾,
故直線GH斜率不存在時,直線方程不成立,
∴直線l的方程為:y=±$\sqrt{2}$x+2.

點評 本題考查橢圓的標準方程及橢圓的定義,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理,向量的坐標運算,考查分類討論思想,屬于中檔題.

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