Question

3．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系C=3+x，每日的銷售S（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{3x+5+\frac{k}{x-8}，0＜x＜6}\\{14，x≥6}\end{array}\right.$．已知每日的利潤(rùn)L=S-C，且當(dāng)x=2時(shí)，L=3．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求此最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用每日的利潤(rùn)L=S-C，且當(dāng)x=2時(shí)，L=3，可求k的值；
（Ⅱ）利用分段函數(shù)，分別求出相應(yīng)的最值，即可得出函數(shù)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，每日利潤(rùn)L與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{k}{x-8}+2，0＜x＜6}\\{11-x，x≥6}\end{array}\right.$
當(dāng)x=2時(shí)，L=3，即：3=2×2+$\frac{k}{2-8}$+2
∴k=18；
（Ⅱ）當(dāng)x≥6時(shí)，L=11-x為單調(diào)遞減函數(shù)，
故當(dāng)x=6時(shí)，L_max=5，
當(dāng)0＜x＜6時(shí)，L=2x+$\frac{18}{x-8}$+2=2（x-8）+$\frac{18}{x-8}$+18≤6，
當(dāng)且僅當(dāng)2（x-8）=$\frac{18}{x-8}$（0＜x＜6），
即x=5時(shí)，L_max=6，
綜合上述情況，當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時(shí)，日利潤(rùn)達(dá)到最大6萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．