Question

16．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=5|PF₂|，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{3}$]
• B． （1，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=4|PF₂|=2a，再根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：∵|PF₁|=5|PF₂|，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=4|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=$\frac{1}{2}$a，
∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，即$\frac{1}{2}$a≥c-a，即$\frac{3}{2}$a≥c，
∴e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{3}{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\frac{3}{2}$，
∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，$\frac{3}{2}$]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．