Question

1．由于空氣污染嚴重，某工廠生產了兩種供人們外出時便于攜帶的呼吸裝置，其質量按測試指標劃分：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品．現隨機抽取這兩種裝置各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：

測試指標	[70，76]	[76，82]	[82，88]	[88，94]	[94，100]
裝置甲	8	12	40	32	8
裝置乙	7	18	40	29	6

（Ⅰ）試分別估計裝置甲、裝置乙為合格品的概率；
（Ⅱ）生產一件裝置甲，若是合格品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產一件裝置乙，若是合格品可盈利50元，若是次品則虧損10元．在（Ⅰ）的條件下，
（1）記X為生產一件裝置甲和生產一件裝置乙所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數學期望；
（2）求生產5件裝置乙所獲得的利潤不少于140元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據頻數分布表求出裝置甲、乙合格品的概率；
（Ⅱ）（1）根據題意得出隨機變量X的所有可能取值，計算對應的概率值，
寫出X的分布列，計算數學期望值．
（2）求出生產5件裝置乙合格品的件數，
計算生產5件裝置乙所獲得的利潤不少于140元的概率．

解答 解：（Ⅰ）裝置甲合格的概率為p₁=$\frac{40+32+8}{100}$=$\frac{4}{5}$，
裝置乙合格品的概率為p₂=$\frac{40+29+6}{100}$=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）（1）隨機變量X的所有可能取值為90，30，45，-15；
則P（X=90）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=45）=$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=30）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=-15）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$；
∴隨機變量X的分布列為

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{20}$

數學期望是E（X）=90×$\frac{3}{5}$+45×$\frac{3}{20}$+30×$\frac{1}{5}$+（-15）×$\frac{1}{20}$=66；
（2）設生產5件裝置乙合格品有n件，則次品有5-n件，
依題意得，50n-10（5-n）≥140，
解得n≥$\frac{19}{6}$，∴取n=4或n=5；
設“生產5件裝置乙所獲得的利潤不少于140元”為事件A，
則概率P（A）=${C}_{5}^{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{4}$•$\frac{1}{4}$+${（\frac{3}{4}）}^{5}$=$\frac{81}{128}$．

點評 本題考查了古典概型的概率以及離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算問題，是中檔題．