Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），過點F且斜率為-$\frac{a}$的直線與雙曲線的漸近線交于點A，若△OAF的面積為4ab（O為坐標原點），則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 過點F且斜率為-$\frac{a}$的直線方程為y=-$\frac{a}$（x-c），與雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，聯(lián)立，得到A（$\frac{1}{2}c$，$\frac{bc}{2a}$），利用△OAF的面積為4ab（O為坐標原點），求出雙曲線的離心率．

解答 解：過點F且斜率為-$\frac{a}$的直線方程為y=-$\frac{a}$（x-c），與雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，聯(lián)立，
得到A（$\frac{1}{2}c$，$\frac{bc}{2a}$），
∵△OAF的面積為4ab，
∴$\frac{1}{2}×c×$$\frac{bc}{2a}$=4ab，∴c=4a，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=4，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查三角形面積的計算，體現(xiàn)方程思想，屬于中檔題．