Question

3．已知拋物線E：y²=2px（P＞0）的準線為x=-1，M，N為直線x=-2上的兩點，M，N兩點的縱坐標之積為-8，P為拋物線上一動點，PN，PM，分別交拋物線于A，B兩點．
（1）求拋物線E的方程；
（2））問直線AB是否過定點，若過定點，請求出此定點；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由-$\frac{p}{2}$=-1得p=2，即可求拋物線E的方程；
（2）設P（x₀，y₀）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB方程為x=ny+m．聯(lián)立拋物線方程得y²-4ny-4m=0，則y₁y₂=-4m，求出M，N的縱坐標，利用條件，即可得出直線AB是否過定點．

解答 解：（1）由-$\frac{p}{2}$=-1得p=2，
故拋物線方程y²=4x..…（4分）
（2）設P（x₀，y₀）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB方程為x=ny+m．
聯(lián)立拋物線方程得y²-4ny-4m=0，則y₁y₂=-4m..…（6分）
由直線PA的斜率$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，
則直線PA的方程：y-y₀=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$（x-x₀），
又y₀²=4x₀，即直線PA的方程：4x-（y₁+y₀）y+y₁y₀=0，
令x=-2，得y_M=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-8}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，同理y_N=$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-8}{{y}_{2}+{y}_{0}}$..…（8分）

y_My_N=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-8}{{y}_{1}+{y}_{0}}$•y_N=$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-8}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=-8，
整理得（y₁y₂+8）（y₀²+8）=0．
則y₁y₂=-8，即-4m=-8，∴m=2．
故直線PA的方程：x=ny+2，即直線AB過定點（2，0）..…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．