Question

14．某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）．現(xiàn)用分層抽樣的方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中抽取100名工人，調查他們的生產能力（此處生產能力指一天加工的零件數(shù)），結果如表．
表1：A類工人生產能力的頻數(shù)分布表

生產能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	8	x	3	2

表2：B類工人生產能力的頻數(shù)分布表

生產能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	6	y	27	18

（1）確定x，y的值；
（2）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為工人的生產能力與工人的類別有關系？

生產能力分組 工人類別	[110，130）	[130，150）	總計
A類工人	20	5	25
B類工人	30	45	75
總計	50	50	100

（3）工廠規(guī)定生產零件數(shù)在[130，140）的工人為優(yōu)秀員工，在[140，150）的工人為模范員工，那么在樣本的A類工人中的優(yōu)秀員工和模范員工中任意抽2人進行示范工作演示，試寫出所抽的模范員工的人數(shù)X的分布列和期望．
下面的臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根據總體數(shù)和樣本容量，得到每個個體被抽到的概率，得到兩個組各自需要抽取的人數(shù)，減去已知的人數(shù)，得到x，y的值，根據所給的兩個頻率分布表做出頻率分布直方圖．
（2）先根據所給的數(shù)據得到列聯(lián)表，把列聯(lián)表中的數(shù)據代入求觀測值的公式，求出這組數(shù)據的觀測值，把觀測值同臨界值表中的數(shù)據進行比較得到對應的概率的值，得到在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為工人的生產能力與工人的類別有關系；
（3）求出X的取值，得出相應的概率，即可得出期望．

解答 解：（1）∵從該工廠的工人中抽取100名工人，且該工廠中有250名A類工人750名B類工人，
∴要從A類工人中抽取25名，從B類工人中抽取75名，（2分）
∴x=25-8-3-2=12，y=75-6-27-18=24．（4分）

生產能力分組 工人類別	[110，130）	[130，150）	總計
A類工人	20	5	25
B類工人	30	45	75
總計	50	50	100

由列聯(lián)表中的數(shù)據，得K²的觀測值為
k=$\frac{100×（20×45-5×30）^{2}}{25×75×50×50}$=12＞10.828．（10分）
因此，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為工人的生產能力與工人的類別有關系．（8分）
（3）X=0，1，（2分）
分布列為

X	0	1	2
P（X）	0.3	0.6	0.1

E（X）=0×0.3+1×0.6+2×0.1=0.8（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗的應用，考查分層抽樣，考查分布列與期望，本題解題的關鍵是根據根據分層抽樣做出兩個數(shù)值，再進行下面的畫圖和列表，本題是一個中檔題目．