Question

9．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈[0，1）}\\{-（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若當(dāng)x∈[-4，-2）時(shí)，不等式f（x）≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． [2，3]
• B． [1，3]
• C． [1，4]
• D． [2，4]

Answer 1

分析 根據(jù)條件，求出函數(shù)f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值，把不等式f（x）≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值大于等于$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立，然后求解關(guān)于t的一元二次不等式得答案．

解答 解：當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=x²-x∈[-$\frac{1}{4}$，0]；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）=-$-（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}$∈[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）的最小值為-1，
又∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
∴當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x∈[-4，-2）時(shí)，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，
若x∈[-4，-2]時(shí)，f（x）≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立，
∴-$\frac{1}{4}$≥$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+$\frac{1}{2}$恒成立．
即t²-4t+3≤0，解得1≤t≤3，
∴t∈[1，3]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的值域，難度較大．