Question

14．已知函數(shù)$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）+1$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的集合；
（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，$f（C）=\frac{5}{4}，b=2，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=12$，求邊長(zhǎng)c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出，
（Ⅱ）先求出C的值，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算和余弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosxsinx-$\frac{1}{2}$sin²x+1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴最大值為$\frac{5}{4}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ時(shí)，即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，即{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}時(shí)，函數(shù)取的最大值，
（Ⅱ）∵f（C）=$\frac{1}{2}$sin（2C-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，
即sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=12，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos$\frac{π}{3}$=2a×$\frac{1}{2}$=12，
∴a=12，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=144+4-2×12×2×$\frac{1}{2}$=124，
∴c=2$\sqrt{31}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)以及預(yù)先定理和向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．