Question

1．函數(shù)f（x）與g（x）=2^x互為反函數(shù)，則f（4x-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． （0，2）
• C． [2，4）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先求出反函數(shù)f（x），通過換元求出f（4x-x²）=log₂（4x-x²），確定此函數(shù)的定義域，然后在定義域的前提條件下根據(jù)4x-x²的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求出所求．

解答 解：∵函數(shù)f（x）與g（x）=2^x互為反函數(shù)，
∴f（x）=log₂ x，
∴f（4x-x²）=log₂ （4x-x²），
由4x-x²＞0得0＜x＜4，即定義域?yàn)?（0，4），
x∈（0，2），4x-x²單調(diào)遞增，此時(shí)f（4x-x²）=log2（4x-x²）單調(diào)遞減；
x∈[2，4）時(shí)，4x-x²單調(diào)遞減此時(shí) f（4x-x²）=log2（4x-x²）單調(diào)遞增．
∴f（4x-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反函數(shù)的求法，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想，定義域是單調(diào)區(qū)間的前提，屬于基礎(chǔ)題．