Question

18．設(shè)f（x） 為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=x；當(dāng)x＞2時(shí)，y=f（x）的圖象是頂點(diǎn)在P（3，4），且過點(diǎn)A（2，2）的拋物線的一部分．
（1）求函數(shù)f（x） 在（-∞，2）上的解析式，并寫出函數(shù)f（x）的值域和單調(diào)區(qū)間；（值域和單調(diào)區(qū)間直接寫，不用給予證明）
（2）若f（x）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2 對(duì)x∈R恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)方程設(shè)y=a（x-3）²+4，將（2，2）代入即可求得a的值，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）=f（-x），求得f（x）的解析式，并求得當(dāng)-2≤x≤0，f（x）=-x，繪制f（x）的大致圖象，求得函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)圖象求得函數(shù)f（x）的值域和單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2 根據(jù)函數(shù)的最大值為4，將其轉(zhuǎn)化成log${\;}_{\frac{1}{2}}$k＞2，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x＞2時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)為P（3，4），
且過點(diǎn)A（2，2）的拋物線的方程為y=a（x-3）²+4，
將（2，2）代入可得a=-2，
∴y=-2（x-3）²+4，
∴當(dāng)0≤x≤2，y=x，
f（x） 為定義在R上的偶函數(shù)，
當(dāng)0≤x≤2，f（x）=x，
∴-2≤x≤0，f（x）=-x，
當(dāng)x＜-2時(shí)，
∴f（x）=f（-x）=-2×（-x）²-12x-14，
即f（x）=-2x²-12x-14．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，2）上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}-12x-14}&{x＜-2}\\{-x}&{-2≤x≤0}\\{x}&{0＜x≤2}\end{array}\right.$．
函數(shù)f（x）的草圖：

值域（-∞，4]，單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-3]，[0，3]，遞減區(qū)間[-3，0]，[3，+∞）；
（2）f（x）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2 對(duì)x∈R恒成立，由函數(shù)f（x）的最大值為4，
即4＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2，即log${\;}_{\frac{1}{2}}$k＞2，
由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解得：0＜k＜$\frac{1}{4}$，
k的取值范圍0＜k＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查求分段函數(shù)的解析式及圖象的方法，根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)單調(diào)性及最值，考查不等式恒成問題，屬于中檔題．