Question

5．已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n滿足：2S_n+a_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)$bn=\frac{2}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，
（2）利用裂項求和即可求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，再放縮證明即可．

解答 解：（1）2S_n+a_n=1，2S_n+1+a_n+1=1，
∴2a_n+1+a_n+1=a_n，
∴3a_n+1=a_n，
又2S₁+a₁=1，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，
∴{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（2）證明：$bn=\frac{2}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（-n）•[-（n+1）]}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
∴T_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和裂項求和，屬于中檔題．