Question

19．已知圓C：x²+（y-b）²=r²（r＞0）與直線l：x+y-2=0相切于點(diǎn)P（1，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M（-2，-2），點(diǎn)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$的最小值；
（Ⅲ）過點(diǎn)P作兩條相異直線與圓C相交于點(diǎn)A、B，且直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CP與直線AB是否平行？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{1+{{（1-b）}^2}={r^2}}\\{\frac{1-b}{1-0}=1}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則$\overrightarrow{PQ}=（x-1，y-1），\overrightarrow{MQ}=（x+2，y+2）$，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及其圓的方程即可得出．$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$=x+y-2，記x+y=t，則y=-x+t，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}=2}\\{y=-x+t}\end{array}}\right.$，得2x²-2tx+t²-2=0，利用△≥0，解出即可得出．
（Ⅲ）由過點(diǎn)P可以作兩條不同直線AP，BP，且兩條直線的傾斜角互補(bǔ)，可得兩條直線的斜率存在且不為0．
設(shè)直線AP：y-1=k（x-1），則直線BP：y-1=-k（x-1），設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂）．聯(lián)立得（k²+1）x²-2k（k-1）x+k²-2k-1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{1+{{（1-b）}^2}={r^2}}\\{\frac{1-b}{1-0}=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=0}\\{{r^2}=2}\end{array}}\right.$，
∴圓C的方程為x²+y²=2．
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則$\overrightarrow{PQ}=（x-1，y-1），\overrightarrow{MQ}=（x+2，y+2）$，
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$=（x-1）（x+2）+（y-1）（y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2，
記x+y=t，則y=-x+t，由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}=2}\\{y=-x+t}\end{array}}\right.$，得2x²-2tx+t²-2=0，
∵方程有實(shí)根，∴△=4t²-4×2×（t²-2）=4（4-t²）≥0，
解不等式得-2≤t≤2，∴當(dāng)t=-2時(shí)，x+y取最小值-2，
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$的最小值為-4．
（Ⅲ）∵過點(diǎn)P可以作兩條不同直線AP，BP，且兩條直線的傾斜角互補(bǔ)，∴兩條直線的斜率存在且不為0．
設(shè)直線AP：y-1=k（x-1），則直線BP：y-1=-k（x-1），設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得（k²+1）x²-2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
方程的解是點(diǎn)A、P的橫坐標(biāo)，于是1+${x_1}=\frac{2k（k-1）}{{{k^2}+1}}$，則${x_1}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{{k^2}+1}}$；
同理得${x_2}=\frac{{{k^2}+2k-1}}{{{k^2}+1}}$，于是${x_1}+{x_2}=\frac{{2（{k^2}-1）}}{{{k^2}+1}}$，${x_1}-{x_2}=\frac{-4k}{{{k^2}+1}}$．
∴直線AB的斜率$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{[k（{x_1}-1）+1]-[-k（{x_2}-1）+1]}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
又直線CP的斜率也為1，所以CP∥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程及其性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率與平行線之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．