Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）已知實(shí)數(shù)m＞0，且m≠1，解關(guān)于x的不等式：f（log_m（2^x+1））+$\frac{1}{3}$＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，建立條件關(guān)系即可求a的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式不等式f（log_m（2^x+1））+$\frac{1}{3}$＜0進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{a-{2^x}}}{{{2^x}+1}}$是奇函數(shù)．
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{a-1}{2}=0$，解得a=1，
即f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$．
（2）f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
即f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（log_m（2^x+1））+$\frac{1}{3}$＜0等價(jià)為f（log_m（2^x+1））＜-$\frac{1}{3}$，
∵f（1）=$\frac{1-2}{2+1}$=$-\frac{1}{3}$．
則不等式等價(jià)為f（log_m（2^x+1））＜f（1），
∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
∴l(xiāng)og_m（2^x+1）＞1，即log_m（2^x+1）＞log_mm
若m＞1，則2^x+1＞m，則2^x＞m-1，得x＞log₂（m-1），
若0＜m＜1，則2^x+1＜m，則2^x＜m-1，此時(shí)不等式無(wú)解，
綜上若m＞1不等式的解集為（-∞，log₂（m-1）），
若0＜m＜1，不等式的解集為∅．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的證明，利用函數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．