Question

18．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為3，其漸近線與圓x²+y²-6y+m=0相切，則m=8．

Answer 1

分析 由于雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為3，得到雙曲線的漸近線y=2$\sqrt{2}$x，漸近線與圓x²+y²-6y+m=0相切，可得圓心到漸近線的距離d=r，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為3，
∴c=3a，∴b=2$\sqrt{2}$a，取雙曲線的漸近線y=2$\sqrt{2}$x．
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線與x²+y²-6y+m=0相切，
∴圓心（0，3）到漸近線的距離d=r，
∴$\frac{3}{\sqrt{8+1}}=\sqrt{9-m}$，∴m=8，
故答案為：8．

點評 本題考查了雙曲線的漸近線及其離心率、點到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．