Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=（3n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．

解答 解：由a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{3}{2}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{3}{2}$，又$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1+\frac{3}{2}（n-1）=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=（3n-1）•{2}^{n-1}$．
故答案為：（3n-1）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．