Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}=\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={a_{n+1}}-{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2n+$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)a_n和S_n的關(guān)系，即可求解{a_n}的項(xiàng)公式；
（2）由b_n=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），即可利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，繼而得以證明．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{3n}{2}$-$\frac{{（n-1）}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）}{2}$=n+1，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2適合a_n=n+1；
∴a_n=n+1．…（5分）
（2）證明：由（1）知b_n=n+3-（n+1）+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），…（7分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2n+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）…（10分）
=2n+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）＜2n+$\frac{5}{12}$…（12分）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．