Question

4．數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，且滿足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+3}=\sqrt{\frac{1}{{a_{n+1}^2}}}$．記${b_n}=\frac{1}{{a_n^2a_{n+1}^2}}$，數(shù)列{b_n}前n項的和為S_n，若S_n＜t對任意的n∈N^*恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 滿足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+3}=\sqrt{\frac{1}{{a_{n+1}^2}}}$．$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=3，利用等差數(shù)列的通項公式可得$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，${b_n}=\frac{1}{{a_n^2a_{n+1}^2}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵滿足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+3}=\sqrt{\frac{1}{{a_{n+1}^2}}}$．∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=3，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差數(shù)列，公差為3，首項為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴${b_n}=\frac{1}{{a_n^2a_{n+1}^2}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}前n項的和為S_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$，
若S_n＜t對任意的n∈N^*恒成立，∴$t≥\frac{1}{3}$．
則實數(shù)t的取值范圍是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．
故答案為：$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．