Question

20．若直線x+y=m與曲線$y=\sqrt{9-{x^2}}$恰有兩個公共點，則m的取值范圍是[3，$3\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 曲線曲線$y=\sqrt{9-{x^2}}$即 x²+y²=9（y≥0）表示一個半徑為3的半圓，分類討論求得當直線y=-x+m與曲線曲線$y=\sqrt{9-{x^2}}$恰有2個公共點時m的取值范圍．

解答 解：曲線曲線$y=\sqrt{9-{x^2}}$即 x²+y²=9（y≥0）表示一個半徑為3的半圓，
當直線y=-x+m經過點A（0，3）時，求得m=3，
當直線和半圓相切時，由圓心O到直線y=-x+m的距離等于半徑，
可得$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=3，求得m=3$\sqrt{2}$，或m=-3$\sqrt{2}$（舍去）．
故當直線y=-x+m與曲線曲線$y=\sqrt{9-{x^2}}$恰有2個公共點時m的取值范圍是：[3，$3\sqrt{2}$），
故答案為：[3，$3\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查了直線與圓相交的性質，考查了學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．