分析 (1)T(-2,0).點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設(shè)y1>0.由于點(diǎn)M在橢圓C上,${y}_{1}^{2}$=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$,可得$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=$\frac{5}{4}({x}_{1}+\frac{8}{5})^{2}$-$\frac{1}{5}$,由于-2<x1<2,可得$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$取得最小值.
(2)設(shè)P(x0,y0),則直線MP的方程為:y-y0=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$(x-x0),令y=0,得xR=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$,同理:xS=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$,xR•xS=$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$,又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上,故${x}_{0}^{2}=4(1-{y}_{0}^{2})$,${x}_{1}^{2}$=4$(1-{y}_{1}^{2})$,代入丨OR丨•丨OS丨=|xR•xS|,化簡即可證明.
解答 (1)解:依題意,得a=2,b=1,c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$,T(-2,0).
點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱,
設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設(shè)y1>0.
由于點(diǎn)M在橢圓C上,∴${y}_{1}^{2}$=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$,(*)
$\overrightarrow{TM}$=(x1+2,y1),$\overrightarrow{TN}$=(x1+2,-y1),
∴$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=(x1+2)2-${y}_{1}^{2}$
=$({x}_{1}+2)^{2}-(1-\frac{{x}_{1}^{2}}{4})$=$\frac{5}{4}({x}_{1}+\frac{8}{5})^{2}$-$\frac{1}{5}$,
由于-2<x1<2,
故當(dāng)${x}_{1}=-\frac{8}{5}$時(shí),$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$取得最小值為-$\frac{1}{5}$.
(2)證明:設(shè)P(x0,y0),
則直線MP的方程為:y-y0=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$(x-x0),
令y=0,得xR=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$,
同理:xS=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$,
故xR•xS=$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$,(**)
又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上,故${x}_{0}^{2}=4(1-{y}_{0}^{2})$,${x}_{1}^{2}$=4$(1-{y}_{1}^{2})$,
代入(**)式,得:xR•xS=$\frac{4(1-{y}_{1}^{2}){y}_{0}^{2}-4(1-{y}_{0}^{2}){y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$=$\frac{4({y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2})}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$=4.
∴丨OR丨•丨OS丨=|xR•xS|=4為定值.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 8π | B. | 12π | C. | 16π | D. | 20π |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com