Question

20．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1的單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且滿足a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₃（a_n•a_n+1）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q＞1，由a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差數(shù)列．可得$2×\frac{5}{3}$a₄=a₃+a₅，化為：3q²-10q+3=0，解得q即可得出．
（2）b_n=log₃（a_n•a_n+1）=$lo{g}_{3}（{3}^{n-1}•{3}^{n}）$=2n-1，可得a_nb_n=（2n-1）•3^n-1．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q＞1，∵a₃，$\frac{5}{3}{a_4}，{a_5}$成等差數(shù)列．
∴$2×\frac{5}{3}$a₄=a₃+a₅，化為：3q²-10q+3=0，解得q=3．∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=log₃（a_n•a_n+1）=$lo{g}_{3}（{3}^{n-1}•{3}^{n}）$=2n-1，
∴a_nb_n=（2n-1）•3^n-1．
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1．
3S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2，
∴S_n=1+（n-1）•3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．